Naked Statistics és el llibre més interessant sobre la ciència més avorrida

2024 Autora: Malcolm Clapton | [email protected]. Última modificació: 2023-12-17 03:49

Qui va dir que l'estadística és una ciència avorrida i inútil? Charles Wheelan argumenta de manera convincent que això està lluny del cas. Avui publiquem un fragment del seu llibre sobre com guanyar un cotxe, no una cabra, utilitzant les estadístiques, i entenem que la intuïció et pot enganyar.

L'enigma de Monty Hall

El misteri de Monty Hall és un famós problema de la teoria de la probabilitat que va desconcertar els participants en un programa de jocs anomenat Let's Make a Deal, encara popular a diversos països, que es va estrenar als Estats Units el 1963. (Recordo que cada cop que veia aquest programa quan era petit, quan no anava a l'escola per malaltia.) A la introducció del llibre, ja vaig assenyalar que aquest programa de jocs pot ser interessant per als estadístics. Al final de cadascun dels seus números, el participant que va arribar a la final es va situar amb Monty Hall davant de tres grans portes: la porta núm. 1, la porta núm. 2 i la porta núm. 3. Monty Hall va explicar al finalista que darrere d'una d'aquestes portes va ser un premi molt valuós, per exemple, un cotxe nou i una cabra darrere dels altres dos. El finalista havia de triar una de les portes i aconseguir el que hi havia darrere. (No sé si entre els participants de l'espectacle hi havia almenys una persona que volia aconseguir una cabra, però per simplicitat, suposarem que la gran majoria dels participants somiaven amb un cotxe nou.)

La probabilitat inicial de guanyar és bastant fàcil de determinar. Hi ha tres portes, dues amaguen una cabra i la tercera amaga un cotxe. Quan un participant de l'espectacle es troba davant d'aquestes portes amb Monty Hall, té una de cada tres possibilitats d'escollir la porta darrere de la qual es troba el cotxe. Però, com s'ha indicat anteriorment, hi ha una trampa a Fem un tracte que va immortalitzar aquest programa de televisió i el seu presentador a la literatura sobre teoria de la probabilitat. Després que el finalista de l'espectacle assenyala una de les tres portes, Monty Hall obre una de les dues portes restants, darrere de la qual sempre hi ha una cabra. Aleshores, Monty Hall pregunta al finalista si vol canviar d'opinió, és a dir, abandonar la porta tancada prèviament seleccionada en favor d'una altra porta tancada.

Diguem, per exemple, que el participant va assenyalar la porta # 1. Aleshores Monty Hall va obrir la porta # 3, darrere de la qual s'amagava la cabra. Dues portes, la porta #1 i la porta #2, romanen tancades. Si el valuós premi hagués estat darrere de la porta núm. 1, el finalista l'hauria guanyat, i si hagués estat darrere de la porta núm. 2, hauria perdut. És en aquest punt que Monty Hall pregunta al jugador si vol canviar la seva opció inicial (en aquest cas, abandona la Porta #1 a favor de la Porta #2). Per descomptat, recordareu que les dues portes encara estan tancades. L'única informació nova que va rebre el participant va ser que la cabra va acabar darrere d'una de les dues portes que no va triar.

El finalista hauria d'abandonar l'elecció inicial a favor de la Porta #2?

Li contesto: sí, hauria de ser. Si s'adhereix a l'opció original, la probabilitat de guanyar un premi valuós serà ⅓; si canvia d'opinió i assenyala la porta núm. 2, llavors la probabilitat de guanyar un premi valuós serà ⅔. Si no em creus, segueix llegint.

Admeto que aquesta resposta està lluny de ser òbvia a primera vista. Sembla que sigui quina de les dues portes restants esculli el finalista, la probabilitat de rebre un premi valuós en tots dos casos és ⅓. Hi ha tres portes tancades. Al principi, la probabilitat que un premi valuós s'amagui darrere de qualsevol d'ells és ⅓. La decisió del finalista de canviar la seva opció a favor d'una altra porta tancada fa alguna diferència?

Per descomptat, ja que el problema és que Monty Hall sap què hi ha darrere de cada porta. Si el finalista tria la porta núm. 1 i realment hi ha un cotxe darrere, Monty Hall pot obrir la porta núm. 2 o la porta núm. 3 per revelar la cabra que hi amaga.

Si el finalista selecciona la porta 1 i el cotxe està darrere de la porta 2, el Monty Hall obrirà la porta 3.

Si el finalista assenyala la porta 1 i el cotxe està darrere de la porta 3, el Monty Hall obrirà la porta 2.

En canviar d'opinió després que el presentador obre una de les portes, el finalista guanya l'avantatge d'escollir dues portes en lloc d'una. Intentaré convèncer-vos de la correcció d'aquesta anàlisi de tres maneres diferents.

El primer és empíric. El 2008, el columnista del New York Times John Tyerney va escriure sobre el fenomen Monty Hall. Després d'això, el personal de la publicació va desenvolupar un programa interactiu que us permetrà jugar a aquest joc i decidir de manera independent si canvieu la vostra elecció inicial o no. (El programa fins i tot preveu cabretes i cotxets que apareixen per darrere de les portes.) El programa registra els vostres guanys en el cas que canvieu la vostra elecció inicial i en el cas que no us convenci. Vaig pagar a una de les meves filles perquè jugués a aquest joc 100 vegades, canviant la seva elecció original cada vegada. També vaig pagar al seu germà perquè jugués al joc 100 vegades, mantenint la decisió original cada vegada. La filla va guanyar 72 vegades; el seu germà 33 vegades. Cada esforç va ser recompensat amb dos dòlars.

L'evidència d'episodis del joc Let's Make a Deal mostra el mateix patró. Segons Leonard Mlodinov, autor de The Drunkard's Walk, els finalistes que van canviar la seva opció inicial tenien aproximadament el doble de probabilitats de guanyar que els que no estaven convençuts.

La meva segona explicació per a aquest fenomen es basa en la intuïció. Diguem que les regles del joc han canviat lleugerament. Per exemple, el finalista comença escollint una de les tres portes: Porta # 1, Porta # 2 i Porta # 3, tal com estava previst originalment. Tanmateix, aleshores, abans d'obrir qualsevol de les portes, darrere de les quals s'amaga la cabra, Monty Hall pregunta: "Acceptes renunciar a la teva elecció a canvi d'obrir les dues portes restants?" Per tant, si heu triat la porta núm. 1, podeu canviar d'opinió a favor de la porta núm. 2 i la porta núm. 3. Si primer heu assenyalat la porta núm. 3, podeu seleccionar la porta núm. 1 i la porta núm. 2. I així successivament.

Aquesta no seria una decisió especialment difícil per a tu: és força evident que has de renunciar a l'elecció inicial a favor de les dues portes restants, ja que això augmenta les possibilitats de guanyar de ⅓ a ⅔. El més interessant és que és això, en essència, el que Monty Hall t'ofereix en un joc real, després d'obrir la porta darrere de la qual s'amaga la cabra. El fet fonamental és que si us donessin l'oportunitat de triar dues portes, de totes maneres s'amagaria una cabra darrere d'una d'elles. Quan Monty Hall obre la porta darrere de la qual hi ha la cabra i només aleshores et pregunta si acceptes canviar la teva elecció inicial, augmentarà significativament les teves possibilitats de guanyar un premi valuós! Bàsicament, Monty Hall us diu: "Les possibilitats que un premi valuós s'amagui darrere d'una de les dues portes que no vau triar la primera vegada són ⅔, que encara són més de ⅓!"

T'ho pots imaginar així. Suposem que has assenyalat la porta 1. Després d'això, Monty Hall et dóna l'oportunitat d'abandonar la decisió original a favor de la porta 2 i la porta 3. Estàs d'acord i tens dues portes a la teva disposició, la qual cosa significa que tens totes les raons esperen guanyar un premi valuós amb una probabilitat de ⅔, no ⅓. Què hauria passat si en aquest moment Monty Hall hagués obert la porta 3, una de les "teves" portes, i hi hagués una cabra darrere? Aquest fet sacsejarà la teva confiança en la teva decisió? És clar que no. Si el cotxe s'amagava darrere de la porta 3, Monty Hall obriria la porta 2! No et mostraria res.

Quan el joc es juga d'acord amb un escenari d'imitació, Monty Hall realment et permet triar entre la porta que vas especificar al principi i les dues portes restants, una de les quals podria ser un cotxe. Quan Monty Hall obre la porta darrere de la qual s'amaga la cabra, simplement et fa un favor mostrant-te quina de les altres dues portes no és el cotxe. Tens les mateixes probabilitats de guanyar en els dos escenaris següents.

1. Seleccioneu la porta núm. 1 i, a continuació, accepteu "canviar" a la porta núm. 2 i la porta núm. 3 fins i tot abans que s'obri qualsevol porta.
2. Seleccioneu la porta núm. 1 i, a continuació, accepteu "canviar" a la porta núm. 2 després que Monty Hall us mostri la cabra darrere de la porta núm. 3 (o trieu la porta núm. 3 després que Monty Hall us mostri la cabra darrere de la porta núm. 2).

En ambdós casos, abandonar la decisió original t'ofereix l'avantatge de dues portes sobre una, i així pots duplicar les teves possibilitats de guanyar de ⅓ a ⅔.

La meva tercera opció és una versió més radical de la mateixa intuïció bàsica. Suposem que Monty Hall us demana que trieu una de les 100 portes (en lloc d'una de tres). Després de fer això, per exemple, assenyalant la porta #47, obre les 98 portes restants, que revelaran les cabres. Ara només queden dues portes tancades: la teva porta núm. 47 i una altra, per exemple, la porta núm. 61. Hauries de renunciar a la teva elecció inicial?

Per descomptat que sí! Hi ha un 99 per cent de possibilitats que el cotxe estigui darrere d'una de les portes que no vau triar al principi. Monty Hall us va donar la cortesia d'obrir 98 d'aquestes portes, no hi havia cap cotxe darrere. Per tant, només hi ha 1 de cada 100 possibilitats que la vostra elecció inicial (porta # 47) sigui correcta. Al mateix temps, hi ha un 99 de 100 possibilitats que la vostra elecció inicial sigui incorrecta. Si és així, el cotxe es troba darrere de la porta restant, és a dir, la porta núm. 61. Si voleu jugar amb la probabilitat de guanyar 99 vegades de 100, hauríeu de "canviar" a la porta núm. 61.

En resum, si mai has de jugar a Let's Make a Deal, sens dubte hauràs de fer marxa enrere en la teva decisió original quan Monty Hall (o qui el substitueixi) et doni una opció. Una conclusió més universal d'aquest exemple és que les vostres conjectures intuïtives sobre la probabilitat de certs esdeveniments de vegades us poden enganyar.