El problema dels conills del matemàtic medieval Leonardo Fibonacci

2024 Autora: Malcolm Clapton | [email protected]. Última modificació: 2023-12-17 03:50

Calcula quina descendència donarà una parella d'animals a principis de l'any vinent.

Leonardo Fibonacci va ser un destacat matemàtic medieval. Es creu que va ser ell qui va introduir els números àrabs en ús. A El llibre de l'àbac, una obra que exposa i promou l'aritmètica decimal, Fibonacci dóna el seu famós problema sobre els conills. Intenta solucionar-ho.

A principis de gener es van col·locar una parella de conills acabats de néixer (mascle i femella) en un corral, tancat per tots els costats. Quantes parelles de conills produiran a principis de l'any vinent? Cal tenir en compte les condicions següents:

• Els conills arriben a la maduresa sexual dos mesos després del naixement, és a dir, al començament del tercer mes de vida.
• A principis de cada mes, cada parella sexualment madura dóna a llum només una parella.
• Els animals sempre neixen en parelles "una femella + un mascle".
• Els conills són immortals, els depredadors no se'n poden menjar.

Vegem com creix el nombre de conills en els primers sis mesos:

Mes 1. Una parella de conills joves.

Mes 2. Encara hi ha una parella original. Els conills encara no han arribat a l'edat de tenir fills.

Mes 3. Dues parelles: l'original, en edat de fer fills + un parell de conills joves que va donar a llum.

Mes 4. Tres parelles: una parella original + una parella de conills que va donar a llum a principis de mes + una parella de conills que van néixer al tercer mes, però encara no han arribat a la pubertat.

Mes 5. Cinc parelles: una parella originària + una parella nascuda al tercer mes i arribada a l'edat de fer fills + dues noves parelles que van donar a llum + una parella nascuda al quart mes, però encara no ha arribat a la maduresa.

Mes 6. Vuit parelles: cinc parelles del mes passat + tres parelles de nounats. Etc.

Per fer-ho més clar, escrivim les dades rebudes a la taula:

Si examineu detingudament la taula, podeu identificar el patró següent. Cada vegada que el nombre de conills presents en el mes nè és igual al nombre de conills del (n - 1) mes anterior, sumat amb el nombre de conills acabats de néixer. El seu nombre, al seu torn, és igual al nombre total d'animals a partir del (n - 2) mes (que va ser fa dos mesos). A partir d'aquí podeu derivar la fórmula:

F = F_n-1+ F_{n - 2}, on F - el nombre total de parelles de conills en el mes n, F_n-1 és el nombre total de parelles de conills el mes anterior, i F_{n - 2} - el nombre total de parelles de conills fa dos mesos.

Comptem el nombre d'animals en els mesos següents utilitzant-lo:

Mes 7. 8 + 5 = 13.

Mes 8. 13 + 8 = 21.

Mes 9. 21 + 13 = 34.

Mes 10. 34 +21 = 55.

Mes 11. 55 + 34 = 89.

Mes 12. 89 + 55 = 144.

Mes 13 (inicis de l'any vinent). 144 + 89 = 233.

A principis del mes 13, és a dir, a finals d'any, tindrem 233 parelles de conills. D'aquests, 144 seran adults i 89 joves. La seqüència resultant 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 s'anomena nombres de Fibonacci. En ell, cada nou nombre final és igual a la suma dels dos anteriors.

Mostra la resposta Amaga la resposta